A generalization of Kendall’s tau for spatial data

In the analysis of marked point processes it is interesting to know whether there is a relationship among the marks and to investigate the nature of the association. Many estimators have been defined to analyse the correlation among quantitative marks while little attention has been paid to the qualitative case. In this paper we propose a unifying nonparametric approach to estimate the association among pairs of marks based on their rank. Our proposal consists in a generalization of Kendall’s coefficient tau to spatial data. The main advantage of the nonparametric approach is that it provides the opportunity to make inference on the unknown generating process in order to check whether the association the marks is statistically significant or not. In fact under the null hypothesis that marks are independent, and that there are no marks equal, it is numerically proved that for a fixed distance, the Kendall estimator is asymptotically normally distributed and the values of the parameters are known.

Nell’analisi dei processi puntuali marcati è di estremo interesse verificare la presenza dell’associazione tra I marchi e investigare sul tipo di legame. Sono stati definiti molti stimatori per marchi di tipo quantitativo mentre poca attenzione è stata dedicata al caso in cui i marchi sono qualitativi. In questo articolo si propone un approccio non parametrico per stimare l’associazione tra i marchi basto sui ranghi. In particolare si propone una generalizzazione dello stimatore di Kendall a dati spaziali. Il principale vantaggio di questo approccio consiste nella possibilità di fare inferenza sul processo generatore incognito per verificare se l’associazione è statisticamente significativa oppure no. Infatti, sotto l’ipotesi nulla in cui i marchi sono indipendenti e non ci sono marchi uguali, si dimostra attraverso delle simulazioni numeriche che, per una distanza prefissata, lo stimatore di Kendall si distribuisce asintoticamente secondo una variabile casuale normale con valori dei parametri noti.