Linear systems on $Bbb Psp 1$ with syzygies

We consider the k-dimensional linear systems of homogeneous polynomials in two variables of degree n with a given number j of syzygies of degree d. This is in some way equivalent to studying the hypersurfaces in P^1 of degree n with the same d-polar system. All these linear systems fill up a subvariety X_{k,j,d} of the Grassmannian Gr(k, n). We compute the dimension of this variety and give some geometric description of it by means of a suitable fibration. We examine the blow-up of X_{k,j+1,d},as singular locus of X_{k,j,d}.

Si considerino i sistemi lineari di dimensione k di polinomi omogenei di grado n di due variabili, legati da un fissato numero j di sizigie di grado d. Studiare questi sistemi equivale a studiare sistemi di ipersuperfici di P^1 che hanno grado n e un fissato sistema lineare d-polare. Tali sistemi lineari di ipersuperfici risultano essere parametrizzati da una sottovarietà X_{k,j,d}. della Grassmanniana Gr(k, n). Nel lavoro viene calcolata la dimensione della varietà parametrizzante, e fornita una sua descrizione geometrica attraverso una opportuno morfismo in fibre. Inoltre, viene esaminato lo scoppiamento della sottovarietà X_{k,j+1,d}, luogo singolare di X_{k,j,d}.