Geometry of syzygies via Poncelet varieties

We consider the Grassmannian $Gr(k,n)$ of $(k+1)$-dimensional linear subspaces of $V_n=H^0({\P^1},\O_{\P^1}(n))$. We define $\frak{X}_{k,r,d}$ as the classifying space of the $k$-dimensional linear systems of degree $n$ on $\P^1$ whose basis realize a fixed number of polynomial relations of fixed degree, say a fixed number of syzygies of a certain degree. The first result of this paper is the computation of the dimension of $\frak{X}_{k,r,d}$. In the second part we make a link between $\frak{X}_{k,r,d}$ and the Poncelet varieties. In particular, we prove that the existence of linear syzygies implies the existence of singularities on the Poncelet varieties.

Consideriamo la Grassmanniana $Gr(k,n)$ dei of $(k+1)$-sottospazi lineari di $V_n=H^0({\P^1},\O_{\P^1}(n))$. Definiamo la varietà $\frak{X}_{k,r,d}$ classificante i sistemi lineari di dimensione $k$ e grado $n$ su $\P^1$ le cui basi verificano un fissato numero di relazioni polinomiali di dato grado, ovvero un fissato numero di sizigie di dato grado. Nel presente lavoro calcoliamo la dimensione di $\frak{X}_{k,r,d}$. Inoltre, studiamo il link tra $\frak{X}_{k,r,d}$ le varietà di Poncelet. In particolare, mostriamo che l'esistenza di sizigie lineari implica l'esistenza di singolarità sulle varietà di Poncelet.